石子合并

$tag:$ 区间DP 题目: 设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1,2,3,…,N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1、2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2、3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。 问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

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• 状态表示: $dp[i][j]$ 表示从第 $i$ 堆到第 $j$ 堆, 合并的最小代价
• 状态计算: 由于从第 $i$ 堆到第 $j$ 堆合并为一堆的最后一步一定是由两堆合并而来,所以我们有:
  • 最后一步的代价一定是区间 $i\sim j$ 中石子质量的总和.
  • 设这两堆为堆1和堆2, 则堆1和堆2的合并过程必定是互不干扰的.
  • 记堆1由 $1\sim k$ 合并而来, 则堆2由 $(k+1\sim j)$ 合并而来.
• 因此有状态方程:

$$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+s[j]-s[i-1])$$

细节处理:

• $s[\ \ \ ]$ 数组读入时是石子重量, 紧接着就被用[[前缀和]]处理成读到此时所有石子的总重量.
• 在用 $min$ 遍历区间 $i\sim j$ 前, 要先将 $dp[i][j]$ 初始化为”无穷大”, 避免默认值影响结果.
• $len=1$ 时堆数为1, 没有合并代价, 不用纳入循环.

AC代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 310;
int n;
int a[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],a[i]+=a[i-1];
    for(int len=2;len<=n;len++)
        for(int i=1;len+i-1<=n;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            dp[i][j]=1e8;
            for(int k=i;k<j;k++)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[j]-a[i-1]);
        }
    cout<<dp[1][n];
    return 0;
}