完全背包问题

大体上与01背包问题类似，区别在于：完全背包问题没有对于物品数量的限制

• $v[ \ \ \ ]$记录体积，$w[ \ \ \ ]$ 记录价值，$dp[ \ \ \ ][ \ \ \ ]$ 记录状态 (朴素做法用二维)
• $\textbf{\textcolor{green}{状态计算}}$: 将 $dp[\ \ \ ][\ \ \ ]$ 分为包含第 $i$ 个数和不包含第 $i$ 个数。

优化方法也是滚动数组。

代码区别点：完全背包问题对于 $j$ 是正序遍历。

正序遍历原因：

• 充分性：由于完全背包问题没有数量限制，因此不存在01背包中出现的$\textbf{\textcolor{Cyan}{一物不可多用}}$的限制
• 必要性：由于没有数量限制，所以会出现$\textbf{\textcolor{Cyan}{一种物品需要多次使用}}$的情况，因此这时候 $dp[\ i \ ][\ j \ ]$ 的值不来源于 $dp[\ i-1 \ ][\ \ \ ]$ ，即不来自于上一层，而是来源于同一层中的前 $i$ 个值，因此优化为一维数组后，$dp[\ j\ ]$需要更新过的、可能已经含有第 $i$ 种物品的 $dp$ 数组。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N =1010;

int n,m;
int f[N],v[N],w[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m];
    return 0;
}